别耽误孩子读博！| 动物能学会数学吗？

朋友会离开你

兄弟会背叛你

只有数学不会

数学不会就是不会

网络上的段子彰显了数学这一学科在人类学习中的难度，不知有多少莘莘学子面对它辗转反侧，夜不能寐。

学堂君自己就因为高等数学完全不懂常常在深夜呕血三升只能憋出一个解字。每当深夜解题不成难以排解心中苦闷，就只能上某站刷刷萌宠视频缓解。

谁曾想大数据精准推送，一堆标题如：《考边牧100内算数题，狗子对答如流惊呆网友：上过大学的狗？》的营销号视频突然占据主页，让学堂君高呼受不了，连狗狗都比不上。

痛苦之余，作为一名喜欢抬杠的非典型心理学人（意思是只有我这样），一个疑问出现在脑海：

“这些视频是真的吗？小动物们真的有数学能力吗？如果能的话它们可以与什么年纪的学堂君一起上学？”

在九年义务制教育阶段，我们有时会听到老师评价班上的数学大神为“有数感”，但学堂君历经初高中风风雨雨，归来仍然不知道那是什么东西。纵观自己“跌宕起伏”的小学数学生涯，学堂君清楚的意识到：

我在小时候就可以用自己的十根手指头点清楚1-10的数字；

我能够分辨出5个苹果和20个苹果显然是后者数量更多；

我能够在学习之后在数轴上判断0.05和0.001哪个数量更大

.....

其实，这些能够表现个体能够在心理上表示和操纵数字与数量的能力就是心理学研究中的数感（Number Sense）[1]，一些学者认为这种能力是个体拥有数学能力的基础[2]。

那对于动物来说，它们能不能够理解和感知数字与数量呢？

香港中文大学的一项研究选择大鼠进行探索。研究者们训练大鼠在听到不同次数的声音刺激后按下表示对应数字的按钮，在正确后研究者会提供食物给大鼠作为奖励。

在实验中，研究者将“5”作为一个重要的数值分水岭。

这是由于前人的研究发现，生物在大脑中加工5内的数字与5之外的数字时采用的策略不同，即对于前者的判断是快速且精准的，而对于后者的判断则需要时间数数或者是大体上的估计[3]。

基于这种差异，他们希望大鼠完成四组不同数字的识别任务，以便更全面的讨论研究问题：

（1） 2 vs 5（两数字均小于等于5）

（2） 2 vs 8（两数字一者小于5，另一者大于5）

（3） 6 vs 15（两个数字均大于5）

（4） 2 vs 6 vs 10（三个数字）

图1 大鼠实验任务示意图

研究者发现，大鼠们对于按键的选择最主要受到听到的声音次数，而非受到单次声音长度、声音大小等因素的影响。也就是说大鼠们通过这样的训练确实能够习得对于声音次数的判断能力[2]。

不止大鼠，早在20世纪许多研究者就已经发现包括鸽子、浣熊、海豚和鹦鹉在内的许多动物都具有区分视觉和听觉对象数量的能力[4]。

由此可见，动物们确实拥有识别数字的能力。通过一定的训练他们至少可以与幼儿园小班时的学堂君一较高下。

步入幼儿园大班之后，学堂君的一大成就就是能够进行简单的加减法运算。数学运算指在解题过程中，对运算的对象、法则、思路、方法的理解、掌握、探究和选择[5]。

简单来说，数学运算就是我们能够识别组成一个算式所需的数字和运算法则并得到结果的过程。

一些学者在几十年前通过实验已经发现了非人灵长类动物拥有一定对于加法和减法的认识[6]，但是为了自己岌岌可危的自尊心学堂君决定将动物的范围缩小一些。

抛开所有哺乳动物不谈，动物们能不能进行简单的数学计算呢？

这时我们就不得不提到这只名为Alex的鸟中“爱因斯坦”，自1岁开始它便接受大量的认知训练，并能够用语言对人们的提问进行反应。

研究者将不同数量的物体（主要是各种零食）放在两个杯子底下盖住，并轮流将杯子翻开让Alex观察杯子下藏匿的零食数量。

在未经培训的前提下，Alex被研究者要求回答总共有多少个物体，即Alex需要分别记忆两个杯子下零食的数量，并基于简单的加法法则回答最后的零食总量。

图2 灰鹦鹉Alex

研究结果发现，在2004年6月到2005年1月的48次测验中，Alex的准确率高达85.4%，大体上已经具备了较小数字的加法计算能力[7]。而在后续的研究中，Alex被发现可以完成三个数字的加法，甚至可以基于阿拉伯数字符号进行简单的运算[8]。

虽然能够达到这个计算水平的动物仍然是个例，但是不乏研究者在野生鸟类中发现近似加减法能力的表现[9]。

这么看来学堂君大班的数学成就似乎也没有超越小动物们的能力范围。

首先声明：学堂君很难说自己本科阶段的数学能力有没有超越初中时代的自己，所以初高中暂且不做讨论（目移）。

数学推理指对数量关系进行分析以解决问题的能力[10]，当我们呈现给学生一个蕴含真实情境的题目时，学生往往需要判断这个真实情境下他们需要通过什么样的计算才可以获得最终的答案。

比如图3中如果需要判断两个小朋友之间的距离，左图显然需要完成的是一个减法运算，而右图则需要进行加法运算。

图3 数学推理题目

解决应用题可以说是小学阶段的一大难关，在这个过程中我们需要灵活地将抽象的数学符号与算式与具象的生活问题相转换，这种能力对于人类的数学能力发展具有重要的作用[10]。

其中，人类对于未来事件形成理性预测（比如基于事件发生的概率）的能力是支撑个体数学推理和逻辑推理的重要特征[11]。基于这个能力，人们便能够从有限的数据中推断出结论。

那么动物可以进行这样的推理吗？

好奇的研究者制作了一款“水果抽奖机”用于测试恒河猴在预测推理上的能力表现。他们将柠檬或苹果固定在两个由钉子卡住的隔间中，研究者可以通过抽走钉子来释放某个隔间中的水果。

图4 水果抽奖机

经过检验，恒河猴们对于苹果和柠檬并没有喜好上的差异，由此研究者们设置了一个主要由柠檬组成的抽奖机（柠檬机）和主要由苹果组成的抽奖机（苹果机）。

他们发现，猴子们对于概率较小的意外情况（柠檬机中掉下苹果）的注视时间显著地高于概率较大的预期情况（苹果机中掉下苹果）。

更有趣的是，当研究者装模作样的摇动抽奖机后从自己的口袋中取出一个水果时，无论是意外情况（摇动柠檬机取出苹果）还是预期情况（摇动柠檬机取出柠檬）恒河猴们的注视时间都没有明显的差异。

也就是说，这些聪明的猴子不光可以在没有过去抽样的直接经验的情况下对最有可能的未来结果做出推断[12]，甚至能够判断行为和结果之间是否存在因果关系，并有选择性的决定自己是否需要进行预测。

由此看来，虽然目前没有证据直接表明动物们能够解答小学水平的应用题，但它们可能具备了解答这些应用题的核心能力。

但无论如何，终于，小学时候的学堂君险胜小动物们。

经过若干年的研究，从原始如昆虫（蜘蛛、蜜蜂）到非人灵长类生物（恒河猴、黑猩猩），研究者们都或多或少地在它们的身上发现了数学能力的影子。

虽然学堂君今天能够以小学生的身份战胜挑战者们，但是不知道在未来的学者是否会在某天惊讶地发现其实动物们的数学能力远比我们现在所认知的更加高级和复杂。

依学堂君来看，我们不妨抛掉对于“它们是动物”的思想，让它们大胆“追梦”。免得有一天我们被后人追着喊出那句：

“别耽误孩子读博！”